Paul van Batenburg

Een voorbeeld. Uit een populatie van 1 miljoen euro's is een geldsteekproef van 400 waarnemingen getrokken. Daarin zijn 4 (‘hele") fouten geconstateerd. Dat betekent dat de beste schatting voor het aantal onjuiste euro's in de populatie 1 procent, dus 10.000 euro, is. Van die 4 fouten waren er 2 van hetzelfde type: door controlemaatregel C hadden deze voorkomen kunnen worden. De beste schatting voor het aantal euro's in de populatie dat door het ontbreken van die maatregel onjuist is, is 5.000. Maar hoeveel euro's hadden we daarvoor door die controlemaatregel moeten laten beoordelen? Stel dat er in de steekproef ook 118 correcte euro's zaten die met die 2 fouten vergelijkbaar waren en dus ook door controlemaatregel C geraakt waren. Dan komen wij op een deelverzameling C van 300.000 euro's.

steekproef
	C	non C
error	2	2	4
correct	118	278	396
	120	280	400

Omdat elke steekproefeuro representatief is voor J = 2.500 euro's in de populatie krijgen we de volgende tabel voor de populatie:

	C	non C
error	5.000	5.000	5.000
correct	295.000	695.000	990.000
	300.000	700.000	1.000.000

Laten we deze tabel eens nader bekijken:

1. De helft van alle fouten komt voor in de deelmassa die door controlemaatregel C is geraakt, maar in die deelmassa is de foutkans 1,67 procent.
2. De overall foutkans is 1 procent, en in de deelmassa C is die 1,67 procent. In de andere deelmassa is de foutkans 0,70 procent. Dus euro's in deelmassa C zijn 7/3 maal zo foutgevoelig als euro's daar buiten.
3. De effectiviteit van een controlemaatregel die alle euro's in C schoonmaakt is daarom 233.
4. Zo'n controlemaatregel zou betekenen dat 50 procent van alle fouten voorkomen kan worden door 30 procent van de populatie te onderzoeken. De efficiency van die controlemaatregel is daarom 167.

Als we deze getallen nu in formules zetten volgt vanzelf de Regel van Bayes:

De argumentatie om een controlemaatregel in te voeren wordt niet bepaald door welk deel van de fouten die er mee voorkomen konden worden in de steekproef zaten: P(C|error), maar door de vraag hoeveel fouten met de controlemaatregel voorkomen hadden kunnen worden: P(error|C). De regel van Bayes zegt nu:

P(error |C) = P(C|error) x P(error)/P(C),

maar, P(error) weten we niet. Wat we wel weten:

P(error |C)/P(error|non C) = P(C|error)/(non C|error) x  P(non C)/P(C)

                                           = P(C| error)/(1-P(C|error)) x  (1-P(C))/P(C)

De effectiviteit van een controlemaatregel is dus te bepalen zonder de foutkans te kennen of te schatten.

De efficiency van een controlemaatregel is P(C|error)/P(C). Dit kan worden herschreven als:  P(C and error)/(P(error) x P(C)), zodat:

• die index 100 is als de controlemaatregel onafhankelijk is van de fout: weten dat de euro tot C behoort, leert ons dan niets over de foutgevoeligheid. Een getallenvoorbeeld zou zijn:

	C	non C
error	5.000	5.000	10.000
correct	495.000	495.000	990.000
	500.000	500.000	1.000.000

• als de efficiency-index van en controlemaatregel kleiner is dan 100, is de efficiency-index van de rest groter dan 100: niet de aanwezigheid van de betreffende eigenschap is belangrijk om te onderzoeken, maar de afwezigheid ervan!